Die Infinitesimalrechnung hat viele reale Einsatzmöglichkeiten und Anwendungen in den Naturwissenschaften, der Informatik, der Wirtschaftswissenschaft, der Wirtschaft und der Medizin. Auf einige dieser Einsatzmöglichkeiten und Anwendungen in der Immobilienbranche werde ich kurz eingehen.
Beginnen wir mit einigen Beispielen der Kalkulation bei der spekulativen Immobilienentwicklung (z. B. beim Bau neuer Häuser). Logischerweise möchte ein neuer Hausbauer nach der Fertigstellung jedes Hauses in einer neuen Wohngemeinschaft einen Gewinn erwirtschaften. Dieser Bauunternehmer muss auch in der Lage sein, (hoffentlich) während des Bauprozesses jedes Hauses oder jeder Phase der Hausentwicklung einen positiven Cashflow aufrechtzuerhalten. Es gibt viele Faktoren, die in die Berechnung eines Gewinns einfließen. Wir wissen zum Beispiel bereits, dass die Gewinnformel lautet: P = R – Calso der Gewinn (P) ist gleich dem Umsatz (R) abzüglich der Kosten (C). Obwohl diese primäre Formel sehr einfach ist, gibt es viele Variablen, die in diese Formel einfließen können. Beispielsweise unter Kosten (C) gibt es viele verschiedene Kostenvariablen, wie z. B. die Kosten für Baumaterialien, die Arbeitskosten, die Haltekosten der Immobilie vor dem Kauf, die Betriebskosten und die Versicherungsprämienkosten während der Bauphase. Dies sind nur einige der vielen Kosten, die in der oben genannten Formel berücksichtigt werden müssen. Unter Umsatz (R) könnte man Variablen wie den Grundverkaufspreis des Hauses, zusätzliche Upgrades oder Erweiterungen des Hauses (Sicherheitssystem, Surround-Sound-System, Granit-Arbeitsplatten usw.) einbeziehen. Allein das Einbinden all dieser verschiedenen Variablen kann eine entmutigende Aufgabe sein. Dies wird jedoch noch komplizierter, wenn die Änderungsrate nicht linear ist und wir unsere Berechnungen anpassen müssen, weil die Änderungsrate einer oder aller dieser Variablen die Form einer Kurve hat (d. h. exponentielle Änderungsrate)? Dies ist ein Bereich, in dem die Analysis ins Spiel kommt.
Nehmen wir an, wir haben letzten Monat 50 Häuser mit einem durchschnittlichen Verkaufspreis von 500.000 US-Dollar verkauft. Ohne Berücksichtigung anderer Faktoren beträgt unser Umsatz (R) ist der Preis (500.000 $) mal x (50 verkaufte Häuser), was 25.000.000 $ entspricht. Nehmen wir an, dass die Gesamtkosten für den Bau aller 50 Häuser 23.500.000 US-Dollar betrugen; daher der Gewinn (P) beträgt 25.000.000 – 23.500.000 US-Dollar, was 1.500.000 US-Dollar entspricht. Da Sie nun diese Zahlen kennen, hat Ihr Chef Sie gebeten, den Gewinn für den folgenden Monat zu maximieren. Wie machst Du das? Welchen Preis können Sie festlegen?
Als einfaches Beispiel hierfür berechnen wir zunächst den Grenzgewinn in Bezug auf X ein Haus in einer neuen Wohnanlage zu bauen. Wir wissen, dass Einnahmen (R) ist gleich der Nachfragegleichung (P) mal die verkauften Einheiten (X). Wir schreiben die Gleichung als
R = px.
Angenommen, wir haben festgestellt, dass die Nachfragegleichung für den Verkauf eines Hauses in dieser Gemeinde lautet
P = 1.000.000 $ – X/10.
Bei 1.000.000 US-Dollar wissen Sie, dass Sie keine Häuser verkaufen werden. Nun gilt die Kostengleichung (C) Ist
300.000 $ + 18.000 $X (175.000 $ an fixen Materialkosten und 10.000 $ pro verkauftem Haus + 125.000 $ an fixen Arbeitskosten und 8.000 $ pro Haus).
Daraus können wir den Grenzgewinn in Bezug auf berechnen X (Verkaufte Einheiten) und verwenden Sie dann den Grenzgewinn, um den Preis zu berechnen, den wir zur Maximierung des Gewinns verlangen sollten. Die Einnahmen sind also
R = px = (1.000.000 $ – X/10) * (X) = 1.000.000 $X – x^2/10.
Daher ist der Gewinn
P = R – C = (1.000.000 $X – x^2/10) – (300.000 $ + 18.000 $X) = 982.000x – (x^2/10) – 300.000 $.
Daraus können wir den Grenzgewinn berechnen, indem wir die Ableitung des Gewinns bilden
dP/dx = 982.000 – (X/5)
Um den maximalen Gewinn zu berechnen, setzen wir den Grenzgewinn gleich Null und lösen
982.000 – (X/5) = 0
X = 4910000.
Wir stecken ein X Zurück in die Nachfragefunktion und erhalten Sie Folgendes:
P = 1.000.000 $ – (4910.000)/10 = 509.000 $.
Der Preis, den wir festlegen sollten, um den maximalen Gewinn für jedes Haus, das wir verkaufen, zu erzielen, sollte also 509.000 US-Dollar betragen. Im folgenden Monat verkaufen Sie 50 weitere Häuser mit der neuen Preisstruktur und erzielen einen Nettogewinn von 450.000 US-Dollar gegenüber dem Vormonat. Gut gemacht!
Nun bittet Ihr Chef Sie, den Gemeindeentwickler, für den nächsten Monat, einen Weg zu finden, die Kosten für den Hausbau zu senken. Von früher wissen Sie, dass die Kostengleichung (C) War:
300.000 $ + 18.000 $X (175.000 $ an fixen Materialkosten und 10.000 $ pro verkauftem Haus + 125.000 $ an fixen Arbeitskosten und 8.000 $ pro Haus).
Nach klugen Verhandlungen mit Ihren Baulieferanten konnten Sie die festen Materialkosten auf 150.000 bis 9.000 US-Dollar pro Haus und Ihre Arbeitskosten auf 110.000 bis 7.000 US-Dollar pro Haus senken. Daraus ergibt sich Ihre Kostengleichung (C) hat sich geändert in
C = 260.000 $ + 16.000 $X.
Aufgrund dieser Änderungen müssen Sie den Grundgewinn neu berechnen
P = R – C = (1.000.000 $X – x^2/10) – (260.000 $ + 16.000 $X) = 984.000X – (x^2/10) – 260.000 $.
Daraus können wir den neuen Grenzgewinn berechnen, indem wir die Ableitung des neu berechneten Gewinns bilden
dP/dx = 984.000 – (X/5).
Um den maximalen Gewinn zu berechnen, setzen wir den Grenzgewinn gleich Null und lösen
984.000 – (X/5) = 0
X = 4920000.
Wir stecken ein X Zurück in die Nachfragefunktion und erhalten Sie Folgendes:
P = 1.000.000 $ – (4920.000)/10 = 508.000 $.
Der Preis, den wir festlegen sollten, um den neuen maximalen Gewinn für jedes Haus, das wir verkaufen, zu erzielen, sollte also 508.000 US-Dollar betragen. Obwohl wir nun den Verkaufspreis von 509.000 US-Dollar auf 508.000 US-Dollar senken und wie in den beiden vorangegangenen Monaten immer noch 50 Einheiten verkaufen, ist unser Gewinn dennoch gestiegen, weil wir die Kosten um 140.000 US-Dollar gesenkt haben. Wir können dies herausfinden, indem wir die Differenz zwischen dem ersten berechnen P = R – C und der zweite P = R – C welches die neue Kostengleichung enthält.
1 P = R – C = (1.000.000 $X – x^2/10) – (300.000 $ + 18.000 $X) = 982.000X – (x^2/10) – 300.000 $ = 48.799.750
2 P = R – C = (1.000.000 $X – x^2/10) – (260.000 $ + 16.000 $X) = 984.000X – (x^2/10) – 260.000 $ = 48.939.750
Wenn Sie den zweiten Gewinn abzüglich des ersten Gewinns nehmen, können Sie eine Gewinndifferenz (Erhöhung) von 140.000 US-Dollar erkennen. Wenn Sie also die Kosten für den Hausbau senken, können Sie das Unternehmen noch profitabler machen.
Lassen Sie uns rekapitulieren. Durch die einfache Anwendung der Nachfragefunktion, des Grenzgewinns und des maximalen Gewinns aus der Kalkulation und nichts anderem konnten Sie Ihrem Unternehmen helfen, seinen monatlichen Gewinn aus dem ABC Home Community-Projekt um Hunderttausende Dollar zu steigern. Durch ein wenig Verhandlung mit Ihren Baulieferanten und Arbeitsleitern konnten Sie Ihre Kosten senken, und durch eine einfache Neuanpassung der Kostengleichung (C), konnten Sie schnell erkennen, dass Sie durch die Kostensenkung Ihren Gewinn noch einmal gesteigert haben, selbst nachdem Sie Ihren maximalen Gewinn durch die Senkung Ihres Verkaufspreises um 1.000 US-Dollar pro Einheit angepasst hatten. Dies ist ein Beispiel für die Wunder der Infinitesimalrechnung, wenn sie auf Probleme der realen Welt angewendet wird.